Linear Algebra
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🧮 行列运算对行列式的影响（Determinant Effects of Row/Column Operations） #
一、三种基本行运算及其影响 #
| 操作类型 | 符号表示 | 含义 | 对行列式的影响 |
|---|---|---|---|
| 交换两行 | Rᵢ ↔ Rⱼ | 把第 i 行与第 j 行互换 | 行列式乘以 −1 |
| 数乘一行 | Rᵢ → cRᵢ | 把第 i 行的所有元素乘以常数 c | 行列式乘以 c |
| 行加倍操作 | Rᵢ → Rᵢ + cRⱼ | 把第 j 行的 c 倍加到第 i 行 | 行列式 不变 |
💡 以上三种操作称为「初等行变换（Elementary Row Operations）」。
对列操作（Column Operations）同理，效果完全对称。
二、列运算的影响（对称性质） #
| 操作类型 | 符号表示 | 含义 | 对行列式的影响 |
|---|---|---|---|
| 交换两列 | Cᵢ ↔ Cⱼ | 把第 i 列与第 j 列互换 | 行列式乘以 −1 |
| 数乘一列 | Cᵢ → cCᵢ | 把第 i 列的所有元素乘以常数 c | 行列式乘以 c |
| 列加倍操作 | Cᵢ → Cᵢ + cCⱼ | 把第 j 列的 c 倍加到第 i 列 | 行列式 不变 |
三、多次交换的符号规律 #
若矩阵 (A) 经过 k 次行交换（或列交换）得到矩阵 (B)，则：
[ \det(B) = (-1)^k \det(A) ]
- 交换 奇数次 → 行列式乘以 −1
- 交换 偶数次 → 行列式 不变
四、总结口诀（易记版） #
“一换变负号，双换又还原；
数乘乘常量，加倍不改变。”
五、补充说明 #
- 交换行或列是 符号变化操作。
- 数乘行或列是 倍数变化操作。
- 加倍操作（把一行加上另一行的倍数）是 行列式不变操作。
- 若两行（或两列）成比例或相同，则行列式为 0。
- 若某行（或某列）全为 0，行列式也为 0。
- 转置矩阵不改变行列式：
[ \det(A^T) = \det(A) ]
📘 Quick Summary in English
| Operation | Effect on det(A) |
|---|---|
| Swap two rows/columns | × (−1) |
| Multiply a row/column by c | × c |
| Add multiple of one row/column to another | No change |
| k swaps total | × (−1)ᵏ |
| Two identical/proportional rows/columns | det(A) = 0 |
| Aᵀ (Transpose) | det(Aᵀ) = det(A) |